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2010年11月22日 (月)

数学的な、一次元、四次元の図形

「二次元では円。三次元では球。では、一次元では?、四次元では?」のような問題がある。これを数学的に表してみる。

単位円は x2 + y2 = 1 で表せる。(直径1の円)

単位球は x2 + y2 + z2 = 1 で表せる。(直径1の球)

これから、一次元では

x2 = 1 となる。

四次元では、

x2 + y2 + z2 + t2 = 1 となる。

(んっ。これわ、どんな図形だ?)

数学的には、上記のように表すだけである。 非常に単純である。

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具体的には。。。

一次元では x2 = 1 だから、x = -1, x = 1 の二つの点となる。(非常に単純だわ)

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問題は四次元での図形である。我々の三次元的に表現するならば、「切り口が球になる図形」としか言いようがない。(この言い方は重要だ!)

四次元には三次元の軸(x, y, z)に加えて四つ目の軸(t)が加わる。これを時間と仮定すると、時間とともに「点→小さな球→球→大きな球→球→小さな球→点」に変化する図形で、時間軸での切り口が球になる。

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もっとも、数学的には、一次元、四次元などは問題ではない。

n次元では、x2 + y2 + z2 + t2 + … = 1 のように、次数がn個あるだけの式で表す。

数学ではこの式を解くだけである。

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